Poruszone zagadnienia:
   Tworzenie kolejnych liczb w systemie dziesiętnym
   Dodawanie liczb w systemie dziesiętnym
   Odejmowanie liczb w systemie dziesiętnym
   Mnożenie liczb w systemie dziesiętnym



TWORZENIE KOLEJNYCH LICZB W SYSTEMIE DZIESIĘTNYM

Przed zapoznaniem się z innymi systemami liczenia warto przypomnieć sobie podstawy systemu który stosujemy na codzień. Pewne rzeczy mogą wydawać się tak oczywiste, że wiele osób może zadać pytanie po co to w ogóle omawiać. Właściwie nie jest to konieczne ale zwrócenie uwagi na pewne rzeczy które występują także w innych systemach liczenia może ułatwić ich zrozumienie i przyswojenie.

System dziesiętny jak nazwa wskazuje składa się z dziesięciu znaków:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

System dziesiętny (jak i pozostałe które omówimy) jest systemem pozycyjnym. Jak należy to rozumieć? Prześledźmy proces tworzenia kolejnych liczb w systemie dziesiętnym.


Wartości podstawowe uzyskujemy w sposób prosty, lecz co się dzieje gdy do liczby 9 dodamy 1? Podstawowy zestaw 10 znaków został wyczerpany, najmniej ważna pozycja (pierwsza od prawej strony) jest zerowana (wstawiamy do niej pierwszy wolny znak z naszej puli 10 znaków czyli zero) a na bardziej znaczącej pozycji (dziesiątki) wpisujemy przeniesienie (pierwszy wolny znak z dostępnych w tym wypadku jest to 1 - zero było już wykorzystane lecz zwyczajowo nie pisze się liczb w postaci np. 01, 02, itd. tylko stosujemy zapis uproszczony np 1, 2).


Gdy zostanie wyczerpana pula 10 znaków na pozycji drugiej od prawej tzn. dotrzemy do liczby 99 cały proces zostaje powtórzony. Najmniej ważna pozycja (pierwsza od prawej) zostaje wyzerowana przeniesienie zostanie dodane do pozycji bardziej znaczącej (dziesiątki) w tym wypadku będzie to liczba 9 czyli znowu pula wszystkich dostepnych znaków została wyczerpana, zerujemy tą pozycję i wstawiamy pierwszy wolny znak z puli na pozycję jeszcze bardziej znaczącą (setki).


W ten sposób liczby są rozbudowywane w sposób praktycznie nieskończony. Gdy wyczerpiemy pulę "setek" przechodzimy do tysięcy następnie do dziesiątków tysięcy, setek tysięcy itd. W ten sposób można zapisać praktycznie dowolną liczbę przy pomocy 10 znaków (na chwilę obecną nie omawiamy liczb ujemnych oraz liczb zmiennoprzecinkowych).



DODAWANIE LICZB W SYSTEMIE DZIESIĘTNYM

Dodawanie zostało już wstępnie omówione przy tworzeniu kolejnych liczb. Chyba najlepiej będzie prześledzić przykładowe dodawanie dwóch liczb, np 1234 + 678


Dodawanie kolejnych liczb rozpoczynamy od prawej strony od pozycji najmniej znaczących, w naszym wypadku jest to 4 + 8, wynikiem jest liczba 12 jest ona liczbą spoza zakresu podstawowego (0-9) , więc jej mniej znaczącą część (jednostki) spisujemy jako wynik naszego dodawania a część bardziej znaczącą (dziesiątki) zapisujemy jako przeniesienie.


Pozycje najmniej znaczącą mamy już obliczoną przechodzimy do pozycji bardziej znaczącej (w lewo-dziesiątki), tu należy wykonać sumowanie 3+7+1 (1 przeniesienie z poprzedniego sumowania) wynik 11, sytuacja tak jak poprzednio spisujemy jedności (1) jako nasz wynik a dziesiątki (też 1) zapisujemy jako kolejne przeniesienie.


Kolejna pozycja to 1+2+6 = 9, zapisujemy wynik (jedności), przeniesienia w tym wypadku brak.


Na ostatniej pozycji musimy dodać 1 + 0 (zero jako wypełniacz brakującej pozycji w dolnej liczbie). Zapisujemy wynik, sumowanie zakończone.




ODEJMOWANIE LICZB W SYSTEMIE DZIESIĘTNYM

Odejmowanie podobnie jak dodawanie wykonujemy od strony prawej (od wartości najmniej znaczących).


4-1 = 3 otrzymany wynik zapisujemy.


Przechodzimy do kolejnej pozycji (dziesiątki), tu już nie jest tak łatwo, liczba dolna (odjemnik) jest większa od liczby górnej (odjemna) a nie jest to jeszcze ostatnia liczba którą odejmujemy więc musimy zrobić pożyczkę z kolejnego górnego elementu.


Teraz odejmujemy od 13 liczbę 6, wynik zapisujemy.


Znowu liczba górna jest większa od dolnej, na dodatek jeszcze występuje tu pożyczka którą też należy uwzględnić (2-1) , więc trzeba tu odjąć liczbę 5 od liczby 1 jako że nie jest to ostatnia liczba do odejmowania więc po raz kolejny musimy zrobić pożyczkę z następnego elementu (następnego bardziej w lewo).


Teraz odejmujemy od liczby 11 liczbę 5 wynik zapisujemy.


Przechodzimy do kolejnej pozycji, na dole nic już nie ma (jest zero) u góry jest jeden ale po uwzględnieniu pożyczki też jest zero (1-1) na tym kończymy odejmowanie.

MNOŻENIE LICZB W SYSTEMIE DZIESIĘTNYM

Mnożenie liczb jest procesem odrobinę bardziej skomplikowanym. Prześledźmy je na przykładzie:


Rozpoczynamy jak zwykle od prawej strony, wykonując mnożenie 4 * 2 wynik zapisujemy.


Przechodzimy na kolejną pozycję bardziej w lewo i mnożymy 3 * 2


I kolejna pozycja 2 * 2

Teraz ostatnie mnożenie z tej serii 1 * 2.


Wykonaliśmy mnożenia pierwszej serii liczb. Jako że liczba przez którą mnożymy jest kilkupozycyjna zawiera setki (4) dziesiątki(3) i jednostki(2) musimy wykonać dla każdej pozycji oddzielną serię mnożeń. Ważnym dodatkowym elementem jest przesunięcie odpowiednich kolumn liczb w czasie wymnażania, gdy mnożymy jedności - zapisywanie wyników mnożeń rozpoczynamy od prawej strony od pozycji jedności, gdy wymnażamy dziesiątki zapis rozpoczynamy pod kolumną dziesiątek itd.

Wymnażanie dziesiątek:


W przypadku pojawienia się przeniesienia odpowiednie pozycje najpierw wymnażamy a następnie do otrzymanego wyniku dodajemy przeniesienie, tak otrzymaną liczbę zapisujemy jako wynik mnożenia.

Po wymnożeniu dziesiątek przechodzimy do setek (uwzględniając oczywiście odpowiednie przesunięcie pozycji przy zapisywaniu wyników poszczególnych mnożeń).


Po wykonaniu mnożeń na wszystkich pozycjach pozostaje nam odpowiednio zsumować kolumny wyników aby uzyskać ostateczny wynik mnożenia.


Wynikiem mnożenia jest liczba 533088.